Mathematik 03 Anlagemathematik verständlich erklärt

Delta: Richtungsabhängiges Exposure

Lesen Sie die lokale Steigung des Optionswerts in Abhängigkeit vom Basiswertpreis.

Optionen und ihre Sensitivitäten verstehenVertiefung

Illustration; andere Eingaben konstant

Einfach erklärt

Der Grundgedanke

Delta ist die Sensitivität erster Ordnung des Optionswerts gegenüber dem Preis des Basiswerts. Es beschreibt, was mit der Option geschieht, wenn sich der Aktienkurs geringfügig verändert und die übrigen Modelleingaben konstant bleiben.

Eine Kaufoption hat normalerweise ein positives Delta, weil ein höherer Basiswertpreis das Recht zum Kauf wertvoller macht. Eine Verkaufsoption hat normalerweise ein negatives Delta, weil ein höherer Basiswertpreis den Wert des Verkaufsrechts senkt.

Delta ist lokal. Es wird für einen bestimmten Preis, Ausübungspreis, Zeitpunkt, Zinssatz und eine bestimmte Volatilität gemessen. Wenn sich der Basiswert bewegt, kann sich Delta ändern; deshalb gibt es Gamma.

Bei einer gekauften Kaufoption erhöht ein höherer Basiswertpreis im angegebenen Modell im Allgemeinen den Wert; bei einer gekauften Verkaufsoption senkt er ihn. Delta erfasst die lokale Steigung dieses Zusammenhangs. Es wird als Veränderung des Optionswerts je Einheit der Veränderung des Basiswerts gemessen, nicht als prozentuale Rendite auf die Prämie.

Die Tangente in der Illustration zeigt diese lokale Steigung an einem Punkt einer steigenden, konvexen Wertkurve einer Kaufoption. Die Geometrie ist qualitativ; sie stellt weder einen kalibrierten Optionspreis noch eine Prognose dar.

Beispiel mit Erläuterung

Delta lesen, ohne zu viel daraus abzuleiten

Wenn eine Kaufoption ein Delta nahe 0,60 hat, ist ein kleiner Anstieg des Basiswerts um ein Pfund mit einem Anstieg des Optionspreises um ungefähr 0,60 Pfund verbunden, bevor andere Effekte berücksichtigt werden.

Bei einem hypothetischen Kontrakt mit einem Multiplikator von 100 Einheiten des Basiswerts entspricht diese Sensitivität erster Ordnung etwa 60 £ für eine Bewegung von 1 £. Tatsächliche Kontraktmultiplikatoren müssen überprüft werden.

Dies ist nur eine Schätzung für kleine Bewegungen. Bei einer starken Bewegung des Basiswerts können Gamma, Volatilität und Zeit das Ergebnis verändern.

Verwenden Sie das angenommene Delta von 0,60 als Sensitivität je Einheit und halten Sie Volatilität, Zinsen und Zeit konstant. Ein Anstieg des Basiswerts um 0,50 £ ergibt eine Schätzung erster Ordnung von 0,30 £ je Optionseinheit: 0,60 multipliziert mit 0,50 £. Ein Rückgang um 0,50 £ ergibt bei derselben anfänglichen Sensitivität ungefähr −0,30 £.

Nur zur Veranschaulichung auf Kontraktebene wird ein Multiplikator von 100 Einheiten des Basiswerts angenommen. Aus der Schätzung von 0,30 £ werden 30 £ je Kontrakt. Dieser Multiplikator ist hypothetisch und darf nicht für jeden Markt, Kontrakt oder jede angepasste Option vorausgesetzt werden.

Delta der Kaufoption	0,60
Kleine Bewegung des Basiswerts	+1 Pfund
Optionsbewegung erster Ordnung	Etwa +0,60 Pfund
Beispiel für den Kontraktmultiplikator	Etwa +60 Pfund für 100 Aktien

Das Ergebnis einordnen

Warum die Tangente nur lokal gilt

Die Wertkurve einer Option ist im Allgemeinen keine Gerade. Nach einer Bewegung des Basiswerts kann sich ihre Steigung vom anfänglichen Delta unterscheiden. Gamma misst diese Veränderung des Delta. Wer das anfängliche Delta mit einer großen Preisveränderung multipliziert, ignoriert die Krümmung und erhält möglicherweise eine ungenaue Schätzung.

Delta ist auch von der Wahrscheinlichkeit eines gewinnbringenden Geschäfts zu unterscheiden. Im europäischen Black–Scholes-Modell ohne Dividenden ist das Delta einer Kaufoption N(d1), während N(d2) die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit ist, bei Fälligkeit im Geld zu liegen. Keines von beiden ist eine gemessene Erfolgsquote in der realen Welt, und im Geld zu liegen bedeutet noch keinen Gewinn nach Prämie und Kosten.

Grenzen und Annahmen

Die Konventionen hinter der Formel

Die optionale Herleitung setzt positive Werte für Basiswertpreis, Ausübungspreis, Volatilität und Restlaufzeit voraus, einen Basiswert ohne Dividenden, konstante Volatilität und einen konstanten stetig verzinsten risikofreien Zinssatz sowie Ausübung nur bei Fälligkeit. Die Zeit wird in Jahren und die Volatilität als annualisierte Dezimalzahl angegeben. Die Formeln werden nicht unmittelbar bei Fälligkeit oder bei Volatilität null angewendet.

Bei identischen Modelleingaben entspricht das Delta der Verkaufsoption dem Delta der Kaufoption minus eins. Diese Werte gelten für Optionskaufpositionen; eine Verkaufsposition kehrt das Vorzeichen der Sensitivität um. Dividenden, vorzeitige Ausübung und alternative Bewertungsmodelle verändern die Rechnung. Der Grundgedanke bleibt eine lokale Sensitivität mit klar angegebenen übrigen Eingaben und Einheiten.

Häufiger Fehler

Delta als feste Wahrscheinlichkeit behandeln

Delta wird manchmal bei bestimmten Optionen aus dem Geld als grobe Näherung für eine Wahrscheinlichkeit verwendet. Es ist aber keine gemessene prognostische Häufigkeit.

Die verlässlichere Lesart ist die einer Sensitivität. Delta beschreibt unter den Modellannahmen die Abhängigkeit von einer kleinen Bewegung des Basiswerts.

Ein Delta von 0,60 bedeutet nicht, dass die Option 60 % gewinnt, wenn die Aktie 1 % gewinnt. Die Ableitung ist eine Steigung in Geldeinheit je Geldeinheit; prozentuale Renditen hängen zusätzlich von den Preisen des Basiswerts und der Option ab.

Formelübersicht

Black–Scholes-Delta ohne Dividenden

Ausübung nur bei Fälligkeit, keine Dividenden sowie positive S, K, sigma und T; die Zeit T wird in Jahren angegeben, sigma als annualisierte Dezimalzahl und r als stetig verzinster Jahreszinssatz. Zinssatz und Volatilität sind konstante Modelleingaben; Preissprünge und Handelsfriktionen werden ausgeschlossen. Wenden Sie diese Ausdrücke nicht unmittelbar bei Fälligkeit oder bei Volatilität null an.

N ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung; n ist ihre Dichte. Die Formeln beschreiben Modellwerte von Optionskaufpositionen; das Vorzeichen der Position verändert die Sensitivität.

Preis der Kaufoption

C = S N (d_{1}) - K e^{- r T} N (d_{2})

$C$: Theoretischer Wert der Kaufoption.
$S$: Aktueller Preis des Basiswerts.
$K$: Ausübungspreis.
$r$: Stetig verzinster risikofreier Zinssatz gemäß dieser Modellkonvention.
$T$: Restlaufzeit in Jahren.

Dies ist ein Modellpreis, keine Prognose oder Empfehlung.

Standardisierte Eingaben

\begin{matrix} d_{1} = \frac{\ln (S / K) + (r + 0.5 σ^{2}) T}{σ \sqrt{T}} \\ d_{2} = d_{1} - σ \sqrt{T} \end{matrix}

$σ$: Volatilitätsannahme als annualisierte Dezimalzahl.
$N$: Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.
$n$: Dichte der Standardnormalverteilung.

Delta

\begin{matrix} Δ_{call} = N (d_{1}) \\ Δ_{put} = N (d_{1}) - 1 \end{matrix}

Optionale Herleitung Herleitung ansehen

Die folgende Herleitung zeigt, warum sich die bei der Ableitung zusätzlich auftretenden Terme unter der Black–Scholes-Konvention ohne Dividenden aufheben.

01

Den Preis der Kaufoption nach S ableiten

Der Preis der Kaufoption enthält S im ersten Term sowie in d1 und d2. Daher kommen sowohl die Produktregel als auch die Kettenregel zum Einsatz.

Abgeleiteter Preis der Kaufoption

$\frac{\partial C}{\partial S} = N (d_{1}) + S n (d_{1}) \frac{\partial d_{1}}{\partial S} - K e^{- r T} n (d_{2}) \frac{\partial d_{2}}{\partial S}$
02

Die gemeinsame Ableitung von d1 und d2 nach S verwenden

d1 und d2 ändern sich bei einer Veränderung von S um denselben Betrag, weil d2 gleich d1 minus einem Term ist, der S nicht enthält.

Gemeinsame Ableitung

$\frac{\partial d_{1}}{\partial S} = \frac{\partial d_{2}}{\partial S} = \frac{1}{S σ \sqrt{T}}$
03

Die Dichteidentität verwenden

Unter dieser Konvention sind die beiden Dichteterme entsprechend skalierte Versionen voneinander. Dadurch heben sich die beiden Terme aus der Kettenregel auf.

Identität zur Aufhebung der Terme

$S n (d_{1}) = K e^{- r T} n (d_{2})$
04

Das Ergebnis einordnen

Nach der Aufhebung ist das Delta der Kaufoption N(d1). Das Delta der Verkaufsoption folgt aus der Put-Call-Parität: Die Ableitung von C minus P ist gleich der Ableitung von S minus dem diskontierten Ausübungspreis.

Ergebnis für Delta

$\begin{matrix} Δ_{call} = N (d_{1}) \\ Δ_{put} = N (d_{1}) - 1 \end{matrix}$

Selbsttest

Überprüfen Sie Ihr Verständnis

Wie groß ist der Effekt erster Ordnung je Einheit bei einem Anstieg um 0,50 £ und einem Delta von 0,60?

Etwa +0,30 £, bei konstanten übrigen Eingaben. Mit dem ausdrücklich angenommenen Multiplikator von 100 Einheiten sind das +30 £ je Kontrakt vor Kosten.

Warum kann dasselbe Delta bei einer größeren Bewegung ungenau werden?

Die Steigung der Kurve verändert sich. Gamma und Veränderungen anderer Eingaben können Delta beeinflussen. Wird die anfängliche Tangente zu weit verlängert, kann die Wertveränderung falsch dargestellt werden.

Ist das Delta einer Kaufoption die Wahrscheinlichkeit eines gewinnbringenden Geschäfts?

Nein. Es ist eine Sensitivität. Selbst die gesonderte risikoneutrale Wahrscheinlichkeit des Modells, im Geld zu liegen, ist keine reale Gewinnwahrscheinlichkeit nach Prämie und Kosten.

Lernkontext

Wobei dieser Begriff hilft

Delta hilft, die Richtungsabhängigkeit von den vielen anderen Gründen zu unterscheiden, aus denen sich eine Optionsprämie verändern kann.

Haftungshinweis

Nur zu Bildungszwecken

Dieser Artikel dient ausschließlich der Information und Bildung. Optionen sind mit Risiken verbunden und nicht für alle Anleger geeignet. Nichts hierin stellt eine Empfehlung dar, eine Option zu kaufen, zu verkaufen, als Stillhalter zu verkaufen oder zu handeln.

Lernpfad

Optionen und ihre Sensitivitäten verstehen

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Begriffe

Delta: lokale Veränderung des Optionswerts je Einheit der Preisveränderung des Basiswerts.Gamma: Veränderung des Delta je Einheit der Preisveränderung des Basiswerts.Risikoneutrale Wahrscheinlichkeit: eine Wahrscheinlichkeit unter dem Bewertungsmaß des Modells.Kontraktmultiplikator: vertraglich festgelegte Menge zur Umrechnung von Beträgen je Einheit auf den gesamten Kontrakt.

Weiterführende Artikel

Quellen