Portfoliooptimierung: Was Mathematik entscheiden kann – und was nicht

Die Mathematik braucht eine Frage

Portfoliooptimierung sucht Gewichte, die ein festgelegtes mathematisches Ziel unter Einhaltung von Nebenbedingungen bestmöglich erfüllen. Das Ziel kann ein geschätztes Risikomaß betreffen. Die Nebenbedingungen bestimmen, welche Kombinationen erlaubt sind. Das Ergebnis beantwortet diese formale Frage. Es kann nicht entscheiden, ob die Frage alles erfasst, was einer Person oder Institution wichtig ist.

Hier lautet das Ziel minimale Varianz, also die Minimierung der vom Modell geschätzten Streuung der Portfoliorenditen. Volatilität ist die Quadratwurzel der Varianz. Keines der beiden Maße beschreibt jede Art von Risiko: Liquidität, dauerhafter Verlust, sich verändernde Zusammenhänge und Extremereignisse können gesonderte Betrachtungen erfordern. Ein Portfolio als Minimum-Varianz-Portfolio zu bezeichnen, ist nur im Verhältnis zu seinen Eingaben und Nebenbedingungen sinnvoll.

Wir verwenden zwei fiktive Vermögenswerte, A und B. Ihre Gewichte dürfen nicht negativ sein und müssen sich zu eins addieren: Das Modell enthält nur Kaufpositionen, investiert das gesamte Kapital und sieht weder Kreditaufnahme noch eine Alternative in Form von Liquidität vor. Zwischen den Renditen der Vermögenswerte wird eine Korrelation von null angenommen. Dadurch entfällt in dieser Rechnung der Kovarianzterm. Es bedeutet nicht, dass die Vermögenswerte unabhängig sind oder nicht gemeinsam fallen können.

Eine präzise Antwort kann von unsicheren Eingaben abhängen

Das Modell verringert das Gewicht von A, weil dessen geschätzte Varianz nun höher ist. Es weiß nichts über Unternehmensqualität, künftige Renditen oder die Umstände eines Anlegers. Erwartete Renditen gehen nicht in diese spezielle Zielfunktion ein. Das Ergebnis kann daher keine Aussage stützen, das überarbeitete Portfolio biete eine bessere Rendite.

Die neue minimale Volatilität ist höher als zuvor, obwohl sich die Gewichte anpassen. Das ist folgerichtig: Eine geänderte Eingabe verändert die Aufgabe selbst. Die neuen Gewichte minimieren die überarbeitete Varianzfunktion innerhalb der erlaubten Kombinationen. Sie stellen weder die alte Risikoschätzung wieder her noch beweisen sie, dass das tatsächliche Risiko einer der beiden Schätzungen entsprechen wird.

Das CVX-Material zur Portfoliomathematik erklärt Gewichte, Kovarianz und Mittelwert-Varianz-Modelle mit Nebenbedingungen. Unser Beispiel verwendet das engere Minimum-Varianz-Ziel und eine geschlossene Rechnung für zwei Vermögenswerte. Dafür ist kein Software-Solver nötig. Andere Ziele oder Nebenbedingungen würden andere Optimierungsaufgaben definieren und könnten andere Gewichte ergeben.

Was außerhalb der Rechnung bleibt

Volatilität und Korrelation sind Schätzungen und keine festen Eigenschaften. Unterschiedliche Stichproben, Messzeiträume und veränderte Marktbedingungen können sie beeinflussen. Die Annahme einer Korrelation von null ist besonders stark: Eine positive gemeinsame Bewegung würde die Varianz einer gegebenen Kombination mit positiven Gewichten gegenüber diesem Beispiel im Allgemeinen erhöhen. Optimierung kann die Unsicherheit der Eingaben nicht durch die Berechnung zusätzlicher Nachkommastellen beseitigen.

Handelskosten, Steuern, Liquiditätsgrenzen und Beschränkungen bestimmter Positionen bleiben unberücksichtigt. Dasselbe gilt für Renditeprognosen und Verluste, die durch Varianz nicht sinnvoll zusammengefasst werden. Eine mathematisch zulässige Lösung kann deshalb außerhalb des Modells unpraktisch oder ungeeignet sein. Die Lernaufgabe besteht darin, diese Auslassungen zu erkennen und Sensitivitäten zu untersuchen, statt die kleinste berechnete Zahl als vollständige Entscheidung zu behandeln.