Maths 06 Comprendre les maths de l’investissement

Thêta : l’érosion de la valeur temps

Distinguez le passage du temps d’une promesse de baisse quotidienne du prix.

Comprendre les options et leurs sensibilitésAvancé

Exemple à la monnaie ; taux et dividendes omis

En termes simples

L’idée essentielle

Le thêta mesure comment la valeur d’une option change avec le temps qui passe, à autres paramètres du modèle constants.

Le temps compte parce qu’une option tire en partie sa valeur de l’incertitude future. À mesure que l’échéance approche, il reste moins de temps pour que le prix du sous-jacent atteigne une zone où le droit a de la valeur.

La convention de signe compte. Dans les formules ci-dessous, T désigne la durée jusqu’à l’échéance. Le thêta en temps calendaire est l’opposé de la dérivée par rapport à T, car le passage d’une journée réduit le temps restant.

Deux horloges peuvent décrire le même contrat. Le temps calendaire avance tandis que la durée restante jusqu’à l’échéance diminue. La dérivée par rapport au temps restant a donc le signe opposé au thêta en temps calendaire. Il faut préciser cette convention avant d’interpréter une valeur de thêta.

Cet article utilise le thêta en temps calendaire d’une position acheteuse sur une option. Les expressions sous forme fermée affichées utilisent les années ; une cotation quotidienne exige une convention supplémentaire sur la conversion ou la revalorisation du passage d’une journée.

Exemple détaillé

Lire l’érosion temporelle sans en faire un mécanisme automatique

Supposons qu’une plateforme indique un thêta proche de -0,04 par jour pour une option. Lisez-le comme une estimation locale : si une journée passe et que les autres paramètres restent constants, la valeur de l’option devrait baisser d’environ 0,04.

Cela ne promet pas que l’option baissera d’exactement 0,04 demain. Le prix du sous-jacent, la volatilité implicite et les taux peuvent tous évoluer simultanément.

Le thêta est particulièrement utile lorsqu’il empêche de considérer le temps comme gratuit.

La cotation hypothétique est de −0,04 £ par unité d’option pour une journée, selon la convention indiquée par la plateforme. Si le prix, la volatilité et les taux restent inchangés, l’estimation de premier ordre pour cette journée est une baisse de 0,04 £. Ce n’est ni une somme prélevée sur un compte ni une perte quotidienne garantie.

À titre d’illustration arithmétique distincte, un thêta annuel en temps calendaire de −14,60 £ donne −0,04 £ par jour calendaire lorsqu’il est divisé par 365. Cette convention est explicitement supposée ici. Les plateformes peuvent utiliser d’autres décomptes des jours ou des méthodes de revalorisation sur un intervalle fini ; leurs définitions doivent être vérifiées.

Thêta indiqué	-0,04 par jour
Petite variation de temps	Une journée passe
Effet de premier ordre	Environ -0,04 avant les autres effets
Point de vigilance	L’estimation est locale, pas prévisionnelle

Interpréter le résultat

Le thêta est une sensibilité, pas un calendrier de variations

Le temps restant et les autres paramètres de l’option évoluent ; le thêta quotidien d’aujourd’hui ne doit donc pas être simplement multiplié par tous les jours jusqu’à l’échéance. Près du prix d’exercice et de l’échéance, la relation de valeur peut changer particulièrement vite. Les prix de marché réagissent aussi aux informations qui arrivent pendant les week-ends et les périodes sans négociation.

La contribution du thêta peut être dépassée par les variations de prix, de volatilité ou de taux. Séparer ces contributions aide à expliquer pourquoi le prix d’une option a évolué autrement qu’une estimation naïve d’érosion temporelle. Cela ne permet pas de savoir quelle contribution dominera demain ni de faire d’une position vendeuse sur une option une source fiable de revenus.

Limites et hypothèses

Un thêta positif est possible

Le thêta d’une position acheteuse sur une option est souvent négatif, mais pas toujours. Une option de vente européenne profondément dans la monnaie peut avoir un thêta calendaire positif, car l’effet de financement lié à la réception plus proche du prix d’exercice peut dépasser l’effet du droit de choisir. Des taux d’intérêt négatifs peuvent aussi produire un thêta positif pour certaines options d’achat.

Les formules facultatives supposent l’absence de dividendes, un exercice à l’échéance uniquement, un prix du sous-jacent, un prix d’exercice, une volatilité et un temps restant strictement positifs, ainsi qu’un taux à capitalisation continue et une volatilité annualisée en décimal constants. Elles ne s’appliquent pas directement à l’échéance. Les droits d’exercice, les dividendes et d’autres choix de modèle peuvent modifier le calcul et son interprétation.

Erreur fréquente

Oublier l’horloge

Une erreur fréquente consiste à ne regarder que la direction et à oublier l’échéance. Deux options avec des deltas proches peuvent avoir des sensibilités au temps très différentes.

Une autre erreur est de comparer des thêtas sans vérifier leurs unités. Certaines formules de modèle sont annualisées, tandis que de nombreuses plateformes convertissent le chiffre selon une convention quotidienne.

Affirmer qu’un temps restant plus long augmente toujours la valeur de toute option ferait disparaître ces distinctions de financement et d’exercice. Il faut décrire la tendance courante avec ses hypothèses, sans en faire une loi universelle.

Résumé des formules

Convention du thêta de Black–Scholes

Exercice à l’échéance uniquement, absence de dividendes et S, K, sigma et T strictement positifs ; le temps T est exprimé en années, sigma en décimal annualisé et r est un taux annuel à capitalisation continue. Le taux et la volatilité sont des paramètres constants du modèle ; les sauts de prix et les frictions de négociation sont exclus. N’appliquez pas directement ces expressions à l’échéance ou lorsque la volatilité est nulle.

N est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite ; n en est la densité. Les formules décrivent les valeurs de modèle de positions acheteuses sur les options ; le signe des positions modifie l’exposition.

Convention

Θ_{calendar} = - \frac{\partial V}{\partial T}

$V$: Valeur de l’option dans le modèle.
$T$: Durée jusqu’à l’échéance, en années.

Le thêta affiché utilise les années. Le diviser par 365 donne l’approximation illustrative par jour calendaire retenue ici ; les décomptes des jours et conventions de revalorisation des plateformes peuvent différer.

Thêta de l’option d’achat

Θ_{call} = - \frac{S n (d_{1}) σ}{2 \sqrt{T}} - r K e^{- r T} N (d_{2})

$S$: Prix actuel du sous-jacent.
$n (d_{1})$: Densité normale centrée réduite en d1.
$σ$: Hypothèse de volatilité annualisée.
$r$: Taux sans risque à capitalisation continue dans cette convention.
$K$: Prix d’exercice.

Thêta de l’option de vente

Θ_{put} = - \frac{S n (d_{1}) σ}{2 \sqrt{T}} + r K e^{- r T} N (- d_{2})

Démonstration facultative Explorer la démonstration

La démonstration ci-dessous conserve T comme durée jusqu’à l’échéance, puis inverse le signe à la fin pour exprimer le thêta en temps calendaire.

01

Fixer la convention de temps

Lorsque T est le temps restant, le passage d’un jour calendaire signifie que T diminue. Le signe de l’effet sur la valeur dépend aussi du financement et du contrat ; davantage de temps restant n’augmente pas universellement la valeur de toute option européenne.

Convention de temps calendaire

$Θ_{calendar} = - \frac{\partial V}{\partial T}$
02

Dériver le prix de l’option d’achat par rapport à T

Les termes d1 et d2 dépendent de T, et le prix d’exercice actualisé varie lui aussi avec T.

Dérivée par rapport à la durée jusqu’à l’échéance

$\frac{\partial C}{\partial T} = S n (d_{1}) \frac{\partial d_{1}}{\partial T} - K e^{- r T} n (d_{2}) \frac{\partial d_{2}}{\partial T} + r K e^{- r T} N (d_{2})$
La dérivée du prix de l’option d’achat par rapport à la durée jusqu’à l’échéance est égale à S multiplié par la densité normale en d1 et par la dérivée de d1 par rapport à T, moins le prix d’exercice multiplié par le facteur d’actualisation, par la densité normale en d2 et par la dérivée de d2 par rapport à T, plus le produit de r, du prix d’exercice, du facteur d’actualisation et de la fonction de répartition normale en d2.
03

Regrouper les termes de dérivation en chaîne

En utilisant l’identité des densités et la relation entre d1 et d2, les termes de dérivation en chaîne se réduisent au terme de volatilité rapportée au temps.

Simplification des termes de chaîne

$S n (d_{1}) \frac{\partial d_{1}}{\partial T} - K e^{- r T} n (d_{2}) \frac{\partial d_{2}}{\partial T} = \frac{S n (d_{1}) σ}{2 \sqrt{T}}$
04

Inverser le signe pour le temps calendaire

La dérivée par rapport au temps restant est positive pour la composante de valeur temps. Le thêta en temps calendaire inverse le signe, car le temps restant diminue à mesure que le temps calendaire passe.

Résultat du thêta de l’option d’achat

$Θ_{call} = - \frac{S n (d_{1}) σ}{2 \sqrt{T}} - r K e^{- r T} N (d_{2})$

Autoévaluation

Vérifiez votre compréhension

Pourquoi le thêta calendaire a-t-il le signe opposé à la dérivée par rapport au temps restant ?

Une unité de temps calendaire écoulée retire une unité de temps restant. Le signe moins exprime cette relation entre les deux horloges.

Diviser le thêta annuel par 365 est-il une règle universelle des plateformes ?

Non. C’est l’approximation explicite par jour calendaire utilisée dans l’exemple. Les fournisseurs peuvent employer d’autres conventions ou une revalorisation sur un intervalle fini ; leurs définitions comptent.

Une position acheteuse sur une option européenne doit-elle toujours avoir un thêta négatif ?

Non. Un thêta positif est possible, notamment pour certaines options de vente profondément dans la monnaie. Les effets de financement et l’hypothèse de taux d’intérêt peuvent changer le signe.

Contexte pédagogique

Ce que cette notion aide à comprendre

Le thêta aide à voir pourquoi le choix de l’échéance modifie le profil de risque, même lorsque l’opinion directionnelle paraît similaire.

Avertissement

À des fins pédagogiques uniquement

Cet article est fourni uniquement à titre informatif et pédagogique. Les options comportent des risques et ne conviennent pas à tous les investisseurs. Rien ici ne constitue une recommandation d’acheter, de vendre, d’émettre ou de négocier une option.

Parcours

Comprendre les options et leurs sensibilités

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Termes clés

Thêta en temps calendaire : sensibilité de la valeur au passage du temps calendaire.Durée jusqu’à l’échéance : durée de vie restante du contrat.Convention de décompte des jours : méthode de conversion des années en montants quotidiens.Dans la monnaie : se dit d’une option dont le montant d’exercice immédiat est positif.

L’idée essentielle

Lire l’érosion temporelle sans en faire un mécanisme automatique

Le thêta est une sensibilité, pas un calendrier de variations

Un thêta positif est possible

Oublier l’horloge

Convention du thêta de Black–Scholes

Fixer la convention de temps

Dériver le prix de l’option d’achat par rapport à T

Regrouper les termes de dérivation en chaîne

Inverser le signe pour le temps calendaire

Vérifiez votre compréhension

Ce que cette notion aide à comprendre

À des fins pédagogiques uniquement