Mathematik 06 Anlagemathematik verständlich erklärt

Theta: Zeitwertverfall

Trennen Sie den Zeitablauf von einem Versprechen täglichen Preisverfalls.

Optionen und ihre Sensitivitäten verstehenVertiefung

Beispiel am Geld; Zinsen und Dividenden ausgelassen

Einfach erklärt

Der Grundgedanke

Theta misst, wie sich der Optionswert im Zeitablauf verändert, wenn die übrigen Modelleingaben konstant bleiben.

Zeit ist wichtig, weil eine Option ihren Wert teilweise aus künftiger Unsicherheit bezieht. Je näher die Fälligkeit rückt, desto weniger Zeit bleibt dem Basiswertpreis, einen werthaltigen Bereich zu erreichen.

Die Vorzeichenkonvention ist wichtig. In den folgenden Formeln bedeutet T die Restlaufzeit. Theta bezogen auf die Kalenderzeit ist die negative Ableitung nach T, weil ein verstrichener Tag die verbleibende Zeit reduziert.

Zwei Uhren können denselben Kontrakt beschreiben. Die Kalenderzeit läuft vorwärts, während die verbleibende Zeit bis zur Fälligkeit abnimmt. Die Ableitung nach der Restlaufzeit hat daher das entgegengesetzte Vorzeichen zu Theta bezogen auf die Kalenderzeit. Vor der Interpretation eines Theta-Werts sollte die Vorzeichenkonvention genannt werden.

Dieser Artikel verwendet Theta bezogen auf die Kalenderzeit für eine Optionskaufposition. Die angezeigten geschlossenen Formeln verwenden Jahre. Für eine tägliche Angabe ist eine zusätzliche Konvention nötig, wie der Ablauf eines Tages umgerechnet oder neu bewertet wird.

Beispiel mit Erläuterung

Zeitwertverlust lesen, ohne ihn mechanisch fortzuschreiben

Angenommen, eine Plattform meldet für eine Option Theta nahe -0,04 pro Tag. Lesen Sie das als lokale Schätzung: Wenn ein Tag vergeht und die anderen Eingaben konstant bleiben, dürfte der Optionswert um etwa 0,04 fallen.

Das verspricht nicht, dass die Option morgen genau 0,04 verliert. Basiswertpreis, implizite Volatilität und Zinsen können sich gleichzeitig bewegen.

Theta ist besonders hilfreich, wenn es daran erinnert, Zeit nicht als kostenlos zu behandeln.

Die hypothetische Angabe beträgt gemäß der genannten Plattformkonvention −0,04 £ je Optionseinheit für einen Tag. Bleiben Preis, Volatilität und Zinsen unverändert, ist die Schätzung erster Ordnung für diesen Tag ein Rückgang um 0,04 £. Das ist weder ein vom Konto abgebuchter Betrag noch ein garantierter täglicher Verlust.

Als gesondertes Rechenbeispiel ergibt ein jährliches Theta bezogen auf die Kalenderzeit von −14,60 £ durch Division durch 365 einen Betrag von −0,04 £ je Kalendertag. Diese Konvention wird hier ausdrücklich angenommen. Plattformen können andere Tageszählungen oder Neubewertungen über endliche Zeitintervalle verwenden; ihre Definitionen sollten geprüft werden.

Angegebenes Theta	-0,04 pro Tag
Kleine Zeitbewegung	Ein Tag vergeht
Effekt erster Ordnung	Etwa -0,04 vor anderen Effekten
Wichtiger Hinweis	Die Schätzung ist lokal, keine Prognose

Das Ergebnis einordnen

Theta ist eine Sensitivität, kein Zeitplan

Die Restlaufzeit und die übrigen Optionseingaben verändern sich. Das heutige tägliche Theta sollte daher nicht einfach mit allen verbleibenden Tagen bis zur Fälligkeit multipliziert werden. Nahe am Ausübungspreis und kurz vor Fälligkeit kann sich der Wertzusammenhang besonders schnell ändern. Marktpreise reagieren auch auf Informationen, die am Wochenende und außerhalb der Handelszeiten eintreffen.

Der Theta-Beitrag kann von Preis-, Volatilitäts- oder Zinsveränderungen überlagert werden. Eine Trennung der Beiträge kann erklären, warum sich der Optionspreis anders bewegt hat als in einer einfachen Zeitwertverlustschätzung. Sie zeigt nicht, welcher Beitrag morgen dominieren wird, und macht eine Optionsverkaufsposition nicht zu einer verlässlichen Einkommensquelle.

Grenzen und Annahmen

Positives Theta ist möglich

Das Theta einer Optionskaufposition ist häufig negativ, aber nicht immer. Eine tief im Geld liegende europäische Verkaufsoption kann positives Theta bezogen auf die Kalenderzeit haben, weil der Finanzierungseffekt eines zeitlich näher rückenden Erhalts des Ausübungspreises den Effekt des Wahlrechts übersteigen kann. Negative Zinsen können in manchen Fällen auch positives Theta bei Kaufoptionen erzeugen.

Die optionalen Formeln setzen keine Dividenden, Ausübung nur bei Fälligkeit und positive Werte für Basiswertpreis, Ausübungspreis, Volatilität und Restlaufzeit voraus, bei konstantem stetig verzinstem Zinssatz und konstanter annualisierter dezimaler Volatilität. Sie werden nicht unmittelbar bei Fälligkeit angewendet. Ausübungsrechte, Dividenden und andere Modellentscheidungen können Berechnung und Interpretation verändern.

Häufiger Fehler

Die Uhr ignorieren

Ein häufiger Fehler ist, sich nur auf die Richtung zu konzentrieren und die Fälligkeit zu vergessen. Zwei Optionen mit ähnlichem Delta können eine sehr unterschiedliche Zeitsensitivität haben.

Ein weiterer Fehler besteht darin, Theta-Werte ohne Prüfung der Einheiten zu vergleichen. Einige Modellformeln sind annualisiert, während viele Plattformen den Wert in eine tägliche Konvention umrechnen.

Die Aussage, mehr Restlaufzeit erhöhe immer den Wert jeder Option, würde diese Unterschiede bei Finanzierung und Ausübung ausblenden. Beschreiben Sie die häufige Tendenz zusammen mit ihren Annahmen, statt sie zum universellen Gesetz zu machen.

Formelübersicht

Black–Scholes-Konvention für Theta

Ausübung nur bei Fälligkeit, keine Dividenden sowie positive S, K, sigma und T; die Zeit T wird in Jahren angegeben, sigma als annualisierte Dezimalzahl und r als stetig verzinster Jahreszinssatz. Zinssatz und Volatilität sind konstante Modelleingaben; Preissprünge und Handelsfriktionen werden ausgeschlossen. Wenden Sie diese Ausdrücke nicht unmittelbar bei Fälligkeit oder bei Volatilität null an.

N ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung; n ist ihre Dichte. Die Formeln beschreiben Modellwerte von Optionskaufpositionen; das Vorzeichen der Position verändert die Sensitivität.

Konvention

Θ_{calendar} = - \frac{\partial V}{\partial T}

$V$: Optionswert im Modell.
$T$: Restlaufzeit in Jahren.

Das angezeigte Theta verwendet Jahre. Die Division durch 365 liefert die hier verwendete illustrative Kalendertagsnäherung. Tageszählungen und Neubewertungskonventionen der Plattformen können abweichen.

Theta der Kaufoption

Θ_{call} = - \frac{S n (d_{1}) σ}{2 \sqrt{T}} - r K e^{- r T} N (d_{2})

$S$: Aktueller Basiswertpreis.
$n (d_{1})$: Standardnormaldichte an d1.
$σ$: Angenommene annualisierte Volatilität.
$r$: Stetig verzinster risikofreier Zinssatz in dieser Konvention.
$K$: Ausübungspreis.

Theta der Verkaufsoption

Θ_{put} = - \frac{S n (d_{1}) σ}{2 \sqrt{T}} + r K e^{- r T} N (- d_{2})

Optionale Herleitung Herleitung ansehen

Die folgende Herleitung behält T als Restlaufzeit bei und kehrt am Ende das Vorzeichen um, um Theta bezogen auf die Kalenderzeit auszudrücken.

01

Die Zeitkonvention festlegen

Wenn T die Restlaufzeit ist, bedeutet ein verstrichener Kalendertag, dass T kleiner wird. Das Vorzeichen des Werteffekts hängt auch von Finanzierung und Kontrakt ab. Mehr Restlaufzeit erhöht nicht grundsätzlich den Wert jeder europäischen Option.

Kalenderzeitkonvention

$Θ_{calendar} = - \frac{\partial V}{\partial T}$
02

Den Preis der Kaufoption nach T ableiten

Die Terme d1 und d2 hängen von T ab, und auch der diskontierte Ausübungspreis verändert sich mit T.

Ableitung nach der Restlaufzeit

$\frac{\partial C}{\partial T} = S n (d_{1}) \frac{\partial d_{1}}{\partial T} - K e^{- r T} n (d_{2}) \frac{\partial d_{2}}{\partial T} + r K e^{- r T} N (d_{2})$
03

Die Terme der Kettenregel zusammenfassen

Mit der Dichteidentität und dem Zusammenhang zwischen d1 und d2 vereinfachen sich die Kettenregelterme zum Term aus Volatilität und Zeit.

Vereinfachung der Kettenregelterme

$S n (d_{1}) \frac{\partial d_{1}}{\partial T} - K e^{- r T} n (d_{2}) \frac{\partial d_{2}}{\partial T} = \frac{S n (d_{1}) σ}{2 \sqrt{T}}$
04

Das Vorzeichen für die Kalenderzeit umkehren

Die Ableitung nach der Restlaufzeit ist für den Zeitwertanteil positiv. Theta bezogen auf die Kalenderzeit kehrt das Vorzeichen um, weil die verbleibende Zeit mit fortschreitender Kalenderzeit schrumpft.

Ergebnis für das Theta der Kaufoption

$Θ_{call} = - \frac{S n (d_{1}) σ}{2 \sqrt{T}} - r K e^{- r T} N (d_{2})$

Selbsttest

Überprüfen Sie Ihr Verständnis

Warum hat Theta bezogen auf die Kalenderzeit das entgegengesetzte Vorzeichen zur Ableitung nach der Restlaufzeit?

Eine verstrichene Einheit Kalenderzeit nimmt eine Einheit Restlaufzeit weg. Das Minuszeichen drückt diesen Zusammenhang zwischen den beiden Uhren aus.

Ist die Division des jährlichen Theta durch 365 eine allgemeingültige Plattformregel?

Nein. Es ist die ausdrücklich verwendete Kalendertagsnäherung des Beispiels. Anbieter können andere Konventionen oder Neubewertungen über endliche Zeitintervalle verwenden. Ihre Definitionen sind entscheidend.

Muss eine gekaufte europäische Option immer negatives Theta haben?

Nein. Positives Theta ist möglich, etwa bei einigen tief im Geld liegenden Verkaufsoptionen. Finanzierungseffekte und die Zinsannahme können das Vorzeichen ändern.

Lernkontext

Wobei dieser Begriff hilft

Theta hilft zu erkennen, warum die Wahl der Fälligkeit das Risikoprofil verändert, selbst wenn die Richtungseinschätzung ähnlich erscheint.

Haftungshinweis

Nur zu Bildungszwecken

Dieser Artikel dient ausschließlich der Information und Bildung. Optionen sind mit Risiken verbunden und nicht für alle Anleger geeignet. Nichts hierin stellt eine Empfehlung dar, eine Option zu kaufen, zu verkaufen, als Stillhalter zu verkaufen oder zu handeln.

Lernpfad

Optionen und ihre Sensitivitäten verstehen

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Begriffe

Theta bezogen auf die Kalenderzeit: Sensitivität des Werts gegenüber dem Ablauf der Kalenderzeit.Restlaufzeit: die verbleibende Lebensdauer des Kontrakts.Tageszählkonvention: die Methode zur Umrechnung von Jahren in tägliche Beträge.Im Geld: Der Betrag bei sofortiger Ausübung ist positiv.

Weiterführende Artikel

Quellen

Der Grundgedanke

Zeitwertverlust lesen, ohne ihn mechanisch fortzuschreiben

Theta ist eine Sensitivität, kein Zeitplan

Positives Theta ist möglich

Die Uhr ignorieren

Black–Scholes-Konvention für Theta

Die Zeitkonvention festlegen

Den Preis der Kaufoption nach T ableiten

Die Terme der Kettenregel zusammenfassen

Das Vorzeichen für die Kalenderzeit umkehren

Überprüfen Sie Ihr Verständnis

Wobei dieser Begriff hilft

Nur zu Bildungszwecken