Lesen Sie Zinssensitivität, ohne die Einheiten aus dem Blick zu verlieren.
Optionen und ihre Sensitivitäten verstehenVertiefung
Europäische Optionen; übrige Eingaben fest
Einfach erklärt
Der Grundgedanke
Rho misst, wie sich der Optionswert verändert, wenn sich die Zinseingabe des Modells ändert und die übrigen Eingaben konstant bleiben.
Der Effekt einer Zinsänderung hängt von Laufzeit und anderen Kontrakteingaben ab. Für den Vergleich mit Preis-, Volatilitäts- oder Zeiteffekten muss zunächst für jeden Faktor eine Veränderung festgelegt und in einen Wertbeitrag umgerechnet werden.
Die ursprüngliche Black–Scholes-Ableitung wird je 1,00 des dezimalen Zinssatzes gemessen. Ein Prozentpunkt entspricht 0,01. Eine Angabe je Punkt ist daher die ursprüngliche Sensitivität geteilt durch 100. Die Ableitungseinheit ist keine vorgeschlagene große Zinsbewegung.
Rho misst die Sensitivität gegenüber der risikofreien Zinseingabe des Bewertungsmodells. Es misst nicht die gesamte Wirkung einer Zentralbankankündigung. Diese kann zugleich den Basiswertpreis, die Volatilität und die Erwartungen zu mehreren zukünftigen Zinssätzen verändern.
Die Ableitung verwendet hier einen stetig verzinsten Jahreszinssatz als Dezimalzahl. Eine Plattform kann das Ergebnis stattdessen je Prozentpunkt angeben. Ein einzelner Rho-Wert ist deshalb ohne seine Einheiten und die Richtung der Position unvollständig.
Beispiel mit Erläuterung
Die Zinseingabe richtig einordnen
Angenommen, das ursprüngliche Rho einer Kaufoption beträgt 20,00. Ein Zinsanstieg um einen Prozentpunkt entspricht dezimal 0,01.
Der Effekt erster Ordnung beträgt daher vor anderen Einflüssen etwa 0,20. Eine Plattform kann dieselbe Sensitivität als 0,20 je Zinsprozentpunkt anzeigen.
Das bedeutet nicht, dass die Zinsen steigen werden. Es rechnet nur die Optionswertsensitivität gegenüber der Modellzinseingabe um.
Betrachten wir ein hypothetisches ursprüngliches Rho der Kaufoption von 20 £ je Optionseinheit für eine Änderung des dezimalen Zinssatzes um 1,00. Ein kleiner Anstieg der Zinseingabe von 3 % auf 3,1 % entspricht 0,001. Der lokale Wertbeitrag beträgt damit ungefähr 0,02 £. Eine Veränderung um einen Prozentpunkt von 3 % auf 4 % entspricht 0,01 und ergibt eine Schätzung erster Ordnung von 0,20 £.
Dies sind Sensitivitätsrechnungen bei konstanten übrigen Eingaben, keine Prognosen über Zinsen oder Optionspreise. Die größere Änderung kann einen größeren Näherungsfehler aufweisen, weil Rho sich mit der Zinseingabe verändert.
Rho der Kaufoption vor Umrechnung
20 Pfund je 1,00 dezimalem Zinssatz
Kleine Zinsänderung
3 % auf 3,1 %, also +0,001
Wertschätzung für die kleine Änderung
Etwa +0,02 Pfund je Einheit
Rho der Kaufoption je Prozentpunkt
0,20 Pfund je Prozentpunkt
Das Ergebnis einordnen
Warum Kauf- und Verkaufsoptionen unterschiedlich reagieren
Im europäischen Modell ohne Dividenden wird der Ausübungspreis bei Fälligkeit gezahlt oder empfangen, wenn die Option ausgeübt wird. Die Diskontierung dieses künftigen Betrags erklärt mit, warum ein höherer Zinssatz bei konstanten übrigen Eingaben den Modellwert einer gekauften Kaufoption erhöht und den einer gekauften Verkaufsoption senkt.
Die Vorzeichen betreffen gekaufte Optionen. Eine Verkaufsposition kehrt ihre Sensitivität um; ein Portfolio kombiniert die vorzeichenbehafteten Sensitivitäten seiner Positionen. Das ursprüngliche Rho sollte nicht direkt mit täglichem Theta oder Vega je Prozentpunkt verglichen werden. Rechnen Sie zunächst jeden Wert anhand einer festgelegten Bewegung und einer einheitlichen Positionsgröße in einen Wertbeitrag um.
Grenzen und Annahmen
Eine Zinseingabe vereinfacht eine komplexere Frage
Ein einzelner konstanter Zinssatz steht für die Finanzierungsannahme des Modells. Tatsächliche Diskontierungskurven können nach Laufzeit variieren, und reale Märkte können Dividenden, Finanzierungsaufschläge und unterschiedliche Vertragsbedingungen umfassen. Der einfache Ausdruck setzt auch positive Werte für Basiswertpreis, Ausübungspreis, Volatilität und Zeit, Ausübung nur bei Fälligkeit sowie keine Dividenden voraus. Die Zeit wird in Jahren angegeben.
Eine Sensitivität je 1,00 des dezimalen Zinssatzes ist keine Aufforderung zu einer linearen Prognose für einen Zinssprung um 100 Prozentpunkte. Es ist die Einheit der Ableitung. Eine Zentralbankbewegung kann sich zudem vom Marktzinssatz der relevanten Laufzeit unterscheiden. Wer eine geldpolitische Ankündigung ohne Erklärung in das Modell einsetzt, kann das beabsichtigte Szenario falsch darstellen.
Häufiger Fehler
Ursprüngliche Einheiten und Prozentpunkte vergleichen
Ein häufiger Fehler ist, eine Quelle mit ursprünglichem Rho mit einer anderen Quelle zu vergleichen, die Rho je Prozentpunkt angibt. Die Zahlen unterscheiden sich um den Faktor 100.
Ein weiterer Fehler ist, Rho grundsätzlich für unwichtig zu halten. Bei manchen kurzfristigen Optionen kann es gering sein, doch mit längerer Restlaufzeit wird die Zinssensitivität relevanter.
Die Einheitenumrechnung sollte vor dem Ergebnis stehen. Wer das ursprüngliche Rho mit „1“ multipliziert, obwohl ein Prozentpunkt gemeint ist, erhält ein hundertmal zu großes Ergebnis, auch wenn die Rechnung selbst einfach aussieht.
Formelübersicht
Black–Scholes-Rho und Angaben je Zinsprozentpunkt
Ausübung nur bei Fälligkeit, keine Dividenden sowie positive S, K, sigma und T; die Zeit T wird in Jahren angegeben, sigma als annualisierte Dezimalzahl und r als stetig verzinster Jahreszinssatz. Zinssatz und Volatilität sind konstante Modelleingaben; Preissprünge und Handelsfriktionen werden ausgeschlossen. Wenden Sie diese Ausdrücke nicht unmittelbar bei Fälligkeit oder bei Volatilität null an.
N ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung; n ist ihre Dichte. Die Formeln beschreiben Modellwerte von Optionskaufpositionen; das Vorzeichen der Position verändert die Sensitivität.
Rho der Kaufoption
Das Rho der Kaufoption ist gleich Ausübungspreis mal Restlaufzeit mal Diskontfaktor mal Standardnormalverteilungsfunktion an d2.
Ausübungspreis.
Restlaufzeit in Jahren.
Stetig verzinster risikofreier Zinssatz in dieser Konvention.
Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung an d2.
Rho der Verkaufsoption
Das Rho der Verkaufsoption ist gleich dem negativen Produkt aus Ausübungspreis, Restlaufzeit, Diskontfaktor und Standardnormalverteilungsfunktion an minus d2.
Einheitenumrechnung
Rho je Zinsänderung um einen Prozentpunkt ist gleich dem ursprünglichen Rho geteilt durch hundert.
Eine Veränderung um einen Prozentpunkt entspricht 0,01 in dezimalen Zinseinheiten.
Optionale HerleitungHerleitung ansehen
Die kompakte Herleitung beginnt beim Preis der Kaufoption, nutzt dieselbe Dichteidentität und gewinnt dann das Rho der Verkaufsoption aus der Put-Call-Parität.
01
Den Preis der Kaufoption nach r ableiten
Der Zinssatz tritt in d1 und d2 sowie im diskontierten Ausübungspreis auf.
Zinsableitung
Die Ableitung des Kaufoptionspreises nach r ist gleich S mal Standardnormaldichte an d1 mal Ableitung von d1 nach r, minus Ausübungspreis mal Diskontfaktor mal Standardnormaldichte an d2 mal Ableitung von d2 nach r, plus Ausübungspreis mal Restlaufzeit mal Diskontfaktor mal Standardnormalverteilungsfunktion an d2.
02
Die gemeinsame Zinsableitung verwenden
d1 und d2 ändern sich bei einer Veränderung von r um denselben Betrag, weil d2 gleich d1 minus einem Term ist, der r nicht enthält.
Gemeinsame Ableitung
Die Ableitung von d1 nach r ist gleich der Ableitung von d2 nach r, gleich der Quadratwurzel von T geteilt durch sigma.
03
Die Dichteidentität verwenden
Die skalierten Dichteterme heben sich auf. Übrig bleibt der Term aus der Ableitung des Diskontfaktors.
Identität zur Aufhebung der Terme
S mal Standardnormaldichte an d1 ist gleich Ausübungspreis mal Diskontfaktor mal Standardnormaldichte an d2.
04
Das Ergebnis einordnen und Einheiten umrechnen
Das Rho der Verkaufsoption folgt aus der Put-Call-Parität. Das ursprüngliche Ergebnis gilt je Zinsbewegung um 1,00. Für eine Angabe je Prozentpunkt wird es deshalb durch 100 geteilt.
Ergebnis für Rho
Das Rho der Kaufoption ist gleich Ausübungspreis mal Restlaufzeit mal Diskontfaktor mal Standardnormalverteilungsfunktion an d2. Das Rho der Verkaufsoption ist gleich dem negativen Produkt aus Ausübungspreis, Restlaufzeit, Diskontfaktor und Standardnormalverteilungsfunktion an minus d2. Rho je Prozentpunkt ist gleich dem ursprünglichen Rho geteilt durch hundert.
Selbsttest
Überprüfen Sie Ihr Verständnis
Wie groß ist die dezimale Zinsänderung von 3 % auf 3,1 %?
0,001 oder ein Zehntelprozentpunkt. Bei dem ursprünglichen Rho von 20 £ im Beispiel beträgt der Beitrag erster Ordnung etwa +0,02 £ je Optionseinheit.
Warum wird das ursprüngliche Rho bei einer Bewegung um einen Prozentpunkt mit 0,01 multipliziert?
In der Ableitung werden Zinsen als Dezimalzahlen angegeben. Ein Prozentpunkt ist 0,01. Daher entspricht ein ursprüngliches Rho von 20 einer Sensitivität je Prozentpunkt von 0,20.
Bedeutet positives Rho einer Kaufoption, dass eine Zinsankündigung ihren Marktpreis erhöhen muss?
Nein. Die Ankündigung kann auch Basiswert, Volatilität und andere Eingaben beeinflussen. Rho isoliert eine Modelleingabe und hält den Rest konstant.
Lernkontext
Wobei dieser Begriff hilft
Rho hilft zu verstehen, warum Zinsannahmen für manche Optionslaufzeiten wichtiger sind als für andere.
Haftungshinweis
Nur zu Bildungszwecken
Dieser Artikel dient ausschließlich der Information und Bildung. Optionen sind mit Risiken verbunden und nicht für alle Anleger geeignet. Nichts hierin stellt eine Empfehlung dar, eine Option zu kaufen, zu verkaufen, als Stillhalter zu verkaufen oder zu handeln.
